Matrice de rigidité exemple

La famille de graphiques Laman sur un ensemble fixe de n {displaystyle n} sommets forme l`ensemble des bases de la rigidité matroïdes d`un graphe complet, et plus généralement pour chaque graphique g {displaystyle g} qui forme un cadre rigide en deux dimensions, le couvrant Laman les sous-graphes de G {displaystyle G} sont les bases de la rigidité matroïde de G {displaystyle G}. De l`examen des charges et des contraintes, on peut voir qu`un ensemble de bords qui est indépendant dans la rigidité matroïdes formes a (d, (d + 1 2)) {displaystyle (d, {binom {d + 1} {2}})}-graphique fragmenté, car sinon il existerait un sous-graphe dont le nombre d`arêtes serait ex a cédé la dimension de son espace de charges d`équilibre, d`où il s`ensuit qu`il aurait un auto-stress. Bien que définis dans des termes différents (vecteurs de colonne versus vecteurs de ligne, ou forces versus mouvements), la rigidité statique et la rigidité du premier ordre réduisent les mêmes propriétés de la matrice sous-jacente et coïncident donc les unes avec les autres. Dans deux dimensions, la rigidité générique matroïdes décrit également le nombre de degrés de liberté d`un type différent de mouvement, dans lequel chaque bord est contraint de rester parallèle à sa position d`origine plutôt que d`être contraint de maintenir la même longueur; Cependant, l`équivalence entre rigidité et mouvement parallèle se décompose dans des dimensions plus élevées. Cependant, dans des dimensions plus élevées pas tous (d, (d + 1 2)) {displaystyle (d, {binom {d + 1} {2}})}-le graphe serré est minimalement rigide, et la caractérisation des graphiques minimalement rigides (les bases de la rigidité matroïdes du graphe complet) est un problème ouvert important. Dans les mathématiques de la rigidité structurelle, un matroïde de rigidité est un matroïde qui décrit le nombre de degrés de liberté d`un graphe non dirigé avec des bords rigides de longueurs fixes, incorporés dans l`espace euclidien. Espace euclidien en fournissant un d-tuple de coordonnées cartésiennes pour chaque sommet du graphe. Les graphiques réalisables de manière unique sont importants dans les applications qui impliquent la reconstruction de formes à partir de distances, telles que la triangulation dans l`arpentage des terres, [4] la détermination des positions des noeuds dans un réseau de capteurs sans fil, [5] et la reconstruction de les conformations des molécules par spectroscopie de résonance magnétique nucléaire. Pour les infrastructures qui ne sont pas génériques, il est NP-dur pour déterminer si une infrastructure donnée est uniquement réalisable.

Par raisonnement similaire, un ensemble d`arêtes qui est à la fois indépendante et rigide forme a (d, (d + 1 2)) {displaystyle (d, {binom {d + 1} {2}})}-graphique serré. L`espace vectoriel de toutes les charges possibles, sur un système de n sommets, a une dimension DN, parmi lesquelles les charges d`équilibre forment un sous-espace de dimension d n − (d + 1 2) {displaystyle DN-{binom {d + 1} {2}}}. Bruce Hendrickson a défini un graphique pour être redondante rigide s`il reste rigide après avoir enlevé l`un de ses bords. Parce que le nullspace a toujours au moins cette dimension, la rigidité matroïdes peut avoir rang au plus d n − (d + 1 2) {displaystyle DN-{binom {d + 1} {2}}}, et quand il a ce rang les seuls mouvements qui conservent la longueur des bords de l`infrastructure sont les Rigi d motions.